Тема Математические модели в экономике >§1

математическое моделирование в экономике


Тема 1. Математические модели в экономике


§1. Общие понятия

Рассмотрим процессы математического моделирования применительно к экономическим объектам и процессам. И в этом случае, естественно, применимы общие подходы (системный подход, кибернетическое моделирование). В то же время при моделировании экономических явлений следует учитывать их специфику, например, при выборе методов моделирования, при формировании информационного обеспечения.

Практическими задачами экономико-математического моделирования являются:

• анализ функционирования и развития экономических объектов и процессов;

• экономическое прогнозирование, предвидение развития экономических процессов;

• выработка управленческих решений на всех уровнях хозяйственной деятельности.

Важнейшим понятием при экономико-математическом моделировании, как и при всяком моделировании, является понятие адекватности модели, т. е. соответствия модели мо­делируемому объекту или процессу. Адекватность модели - в какой-то мере условное понятие, так как полного соответствия модели реальному объекту быть не может, что характерно и для экономико-математического моделирования. При моделиро­вании имеется в виду не просто адекватность, но соответствие по тем свойствам, которые считаются существенными для ис­следования. Проверка адекватности экономико-математиче­ских моделей является весьма серьезной проблемой, тем более, что ее осложняет трудность измерения экономических величин. Однако без такой проверки применение результатов модели­рования в управленческих решениях может не только ока­заться мало полезным, но и принести существенный вред.

Социально-экономические системы относятся, как правило, к так называемым сложным системам. Сложные системы в экономике обладают рядом свойств, которые необходимо учитывать при их моделировании, иначе невозможно гово­рить об адекватности построенной экономической модели. Важнейшие из этих свойств:

- эмерджентность;

- массовый характер экономических явлений и процессов;

- динамичность экономических процессов;

- случайность и неопределенность в развитии экономиче­ских явлений;

- невозможность изолировать протекающие в экономиче­ских системах явления и процессы от окружающей сре­ды;

- активная реакция на появляющиеся новые факторы, спо­собность социально-экономических систем к активным, не всегда предсказуемым действиям.

Указанные свойства социально-экономических систем усложняют процесс их моделирования, однако их следует постоянно иметь в виду при рассмотрении различных аспектов экономико-математического моделиро­вания, начиная с выбора типа модели и кончая вопросами практического использования результатов моделирования. То есть эти свойства диктуют необходимость использования системного подхода при моделировании достаточно сложных экономических явлений.


§2. Этапы экономико-математического моделирования

Перейдем теперь к процессу экономико-математического моделирования, то есть описания экономиче­ских и социальных систем и процессов в виде экономико-математических моделей. Эта разновидность моделирования, как уже указывалось, обладает рядом существенных особенностей, связанных как с объектом моделирования, так и с применяемыми аппара­том и средствами моделирования. Поэтому проанализируем последовательность и содер­жание этапов экономико-математического моделирования, выделив следующие шесть этапов:

- постановка экономиче­ской проблемы, ее качественный анализ;

- построение мате­матической модели;

- математический анализ модели;

- подго­товка исходной информации;

- численное решение;

- анализ численных результатов, их интерпретации и применение.

Рассмотрим перечисленные этапы экономико-математического моделирования подробнее.

1. Постановка экономической проблемы и ее качествен­ный анализ.

На этом этапе требуется сформулировать сущность проблемы, принимаемые предпосылки и допу­щения. Необходимо выделить важнейшие черты и свой­ства моделируемого объекта, изучить его структуру и взаимосвязь его элементов, хотя бы предварительно сформулировать гипотезы, объясняющие поведение и развитие объекта.

2. Построение математической модели.

Это этап формали­зации экономической проблемы, т. е. выражения ее в виде конкретных математических зависимостей (функ­ций, уравнений, неравенств и др.). Построение модели подразделяется в свою очередь на несколько стадий. Сначала определяется тип экономико-математической модели, изучаются возможности ее применения в данной задаче, уточняются конкретный перечень переменных и параметров и форма связей. Для некоторых сложных объектов целесообразно строить несколько разноаспектных моделей; при этом каждая модель выделяет лишь некоторые стороны объекта, а другие стороны учитыва­ются агрегированно и приближенно. Оправдано стремле­ние построить модель, относящуюся к хорошо изученному классу математических задач, что может потребовать не­которого упрощения исходных предпосылок модели, не искажающего основных черт моделируемого объекта. Однако возможна и такая ситуация, когда формализа­ция проблемы приводит к неизвестной ранее математи­ческой структуре.

3. Математический анализ модели.

На этом этапе чисто математическими приемами исследования выявляются общие свойства модели и ее решений. В частности, важ­ным моментом является доказательство существования решения сформулированной задачи. При аналитическом исследовании выясняется, единственно ли решение, ка­кие переменные могут входить в решение, в каких пре­делах они изменяются, каковы тенденции их изменения и т. д. Однако модели сложных экономических объек­тов с большим трудом поддаются аналитическому ис­следованию; в таких случаях переходят к численным методам исследования.

4. Подготовка исходной информации.

В экономических задачах это, как правило, наиболее трудоемкий этап мо­делирования, так как дело не сводится к пассивному сбору данных. Математическое моделирование предъявляет жесткие требования к системе информации; при этом надо принимать во внимание не только принципиаль­ную возможность подготовки информации требуемого качества, но и затраты на подготовку информационных массивов. В процессе подготовки информации использу­ются методы теории вероятностей, теоретической и ма­тематической статистики для организации выборочных обследований, оценки достоверности данных и т.д. При системном экономико-математическом моделировании результаты функционирования одних моделей служат исходной информацией для других.

5. Численное решение.

Этот этап включает разработку ал­горитмов численного решения задачи, подготовку про­грамм на компьютере и непосредственное проведение расчетов; при этом значительные трудности вызываются большой размерностью экономических задач. Обычно расчеты на основе экономико-математической модели носят много­вариантный характер. Многочисленные модельные экс­перименты, изучение поведения модели при различных условиях возможно проводить благодаря высокому бы­стродействию современных вычислительных средств. Численное решение существенно дополняет результаты аналитического ис­следования, а для многих моделей является единствен­но возможным.

6. Анализ численных результатов, их интерпретация и применение.

На этом этапе, прежде всего, решается важнейший вопрос о правильности и полноте результатов моделирования и применимости их как в практической деятельности, так и в целях усовершенствования модели. Поэтому в первую очередь должна быть проведена проверка адек­ватности модели по тем свойствам, которые выбраны в качестве существенных (другими словами, должны быть произведены верификация и валидация модели). Интерпретация и при­менение результатов моделирования в эко­номике направлено на решение практических задач (анализ экономических объектов, экономическое прогнозирование развития хозяйственных и социальных процессов, выработка управленческих решений на всех уровнях хозяйственной иерархии).

Отметим, что верификация модели – это проверка правильности структуры (логики) модели; валидация модели — проверка соответствия данных, получен­ных на основе модели, реальному процессу.

Перечисленные этапы экономико-математического моде­лирования находятся в тесной взаимосвязи, в частности, мо­гут иметь место возвратные связи этапов. Так, на этапе по­строения модели может выясниться, что постановка задачи или противоречива, или приводит к слишком сложной ма­тематической модели; в этом случае исходная постановка задачи должна быть скорректирована. Наиболее часто необ­ходимость возврата к предшествующим этапам моделирова­ния возникает на этапе подготовки исходной информации. Если необходимая информация отсутствует или затраты на ее подготовку слишком велики, приходится возвращаться к этапам постановки задачи и ее формализации, чтобы при­способиться к доступной исследователю информации.

Процесс моделирование имеет циклический характер. Недостатки, которые не удается исправить на тех или иных этапах моделирования, устраняются в по­следующих циклах. Однако результаты каждого цикла име­ют и вполне самостоятельное значение. Начав исследование с построения простой модели, можно получить полезные ре­зультаты, а затем перейти к созданию более сложной и более совершенной модели, включающей в себя новые условия и более точные математические зависимости.

Следует иметь в виду, что далеко не во всех слу­чаях данные, полученные в результате экономико-математи­ческого моделирования, могут использоваться непосредст­венно как готовые управленческие решения. Они скорее мо­гут быть рассмотрены как «консультирующие» средства. Принятие управленческих решений остается за человеком. Таким образом, экономико-математическое моделирование является лишь одним из компонентов (пусть очень важным) в человеко-машинных системах планирования и управления экономическими системами.

Моделирование представляет собой циклический про­цесс, то есть за первым циклом из указанных этапов (всех или части) может после­довать второй, третий и т. д. При этом знания об исследуемом экономическом объекте или процессе расширяются и уточняются, а первоначально постро­енная модель постепенно совершенствуется. Таким образом, в методологии моделирования заложены большие возможно­сти самосовершенствования.

Математическое моделирование сложных экономических систем является весьма сложным и неоднозначным процессом, который требует определенных ресурсов. Тем не менее, его рациональное применение является одним из факторов повышения конкурентоспособности экономических систем, особенно учитывая возможности, предоставляемые современными информационными технологиями.


Тема 2. Моделирование экономической динамики


§1. Экономические ряды динамики

Динамические процессы, происходящие в экономических системах, чаще всего проявляются в виде ряда последова­тельно расположенных в хронологическом порядке значе­ний того или иного показателя, который в своих изменени­ях отражает ход развития изучаемого явления в экономике.

Последователь­ность наблюдений одного показателя, упорядо­ченных в зависимости от последовательно возрастающих или убывающих значений другого показателя, называют динамическим рядом, или рядом динамики. Если в качестве признака, в зависимости от которого происходит упорядочение, берется время, то такой динамический ряд называется временным рядом.

Так как в экономических процессах, как правило, упорядочение происходит в соответ­ствии со временем, то при изучении последовательных наблюдений экономических показателей все три приведенных выше термина используются как равнозначные. Составными элементами рядов динамики являются, таким образом, циф­ровые значения показателя, называемые уровнями этих рядов, и моменты или интервалы времени, к которым относятся

уровни.

Временные ряды, образованные показателями, характе­ризующими экономическое явление на определенные мо­менты времени, называются моментными; если уровни временного ряда образуются путем агреги­рования за определенный промежуток (интервал) времени, то такие ряды называются интервальными временными ря­дами.

Временные ряды могут быть образованы как из абсолют­ных значений экономических показателей, так и из средних или относительных величин.

Под длиной временного ряда понимают время, прошедшее от начального момента наблюдения до конечного. Часто длиной ряда называют ко­личество уровней, входящих во временной ряд.

Если во временном ряду проявляется длительная («веко­вая») тенденция изменения экономического показателя, то говорят, что имеет место тренд. Таким образом, под трендом понимается изменение, определяющее общее направление развития, основную тенденцию временных рядов. В связи с этим экономико-математическая динамическая модель, в которой развитие моделируемой экономической системы отражается через тренд ее основных показателей, называется трендовой моделью.

Отличие временных экономических рядов от простых статистических совокупностей заключается, прежде всего, в том, что последовательные значения уровней вре­менного ряда зависят друг от друга. Поэтому применение выводов и формул теории вероятностей и математической статистики требует известной осторожности при анализе временных рядов, особенно при экономической интерпретации результатов анализа.

Предположим, имеется временной ряд, состоящий из п уровней:

у1, у2,…, yn.

В самом общем случае временной ряд экономических показателей можно разложить на четыре структурно обра­зующих элемента:

• тренд, составляющие которого будем обозначать Ut, t = l,2,...,n;

• сезонная компонента, обозначаемая через Vt, t = 1,2,...,n;

• циклическая компонента, обозначаемая через Ct, t= 1,2,..., n;

• случайная компонента, которую будем обозначать t, t= 1,2,..., n.

Под трендом, как уже отмечалось, понимается ус­тойчивое систематическое изменение процесса в течение продолжительного времени.

Во временных рядах экономических процессов могут иметь место более или менее регулярные колебания. Если они носят строго периодический или близкий к нему ха­рактер и завершаются в течение одного года, то их называют сезонными колебаниями. В тех случаях, когда период коле­баний составляет несколько лет, то говорят, что во времен­ном ряде присутствует циклическая компонента.

Тренд, сезонная и циклическая компоненты называются регулярными, или систематическими компонентами времен­ного ряда. Составная часть временного ряда, остающаяся по­сле выделения из него регулярных компонент, представляет собой случайную, нерегулярную компоненту. Она является обязательной составной частью любого временного ряда в экономике, так как случайные отклонения неизбежно сопут­ствуют любому экономическому явлению. Если системати­ческие компоненты временного ряда определены правильно, что как раз и составляет одну из главных целей при разра­ботке трендовых моделей, то остающаяся после выделения из временного ряда этих компонент так называемая остаточная последовательность (ряд остатков) будет случайной компо­нентой ряда, т.е. будет обладать следующими свойствами:

• случайностью колебаний уровней остаточной последова­тельности;

• соответствием распределения случайной компоненты нормальному закону распределения;

• равенством математического ожидания случайной ком­поненты нулю;

• независимостью значений уровней случайной последо­вательности, то есть отсутствием существенной авто­корреляции.

Проверка адекватности трендовых моделей основана на проверке выполняемоемости у остаточной последовательности указанных четырех свойств. Если не выполняется хотя бы одно из них, модель признается неадекватной; при выполне­нии всех четырех свойств модель адекватна.

Данная проверка осуществляется с использованием ряда статистических критериев.


§2. Предварительный анализ и сглаживание временных рядов экономических показателей

Предварительный анализ временных рядов экономиче­ских показателей заключается в основном в выявлении и устранении аномальных значений уровней ряда, а также в определении наличия тренда в исходном временном ряде.

Под аномальным уровнем понимается отдельное значение уровня временного ряда, которое не отвечает потенциаль­ным возможностям исследуемой экономической системы и которое, оставаясь в качестве уровня ряда, оказывает суще­ственное влияние на значения основных характеристик вре­менного ряда, в том числе на соответствующую трендовую модель. Причинами аномальных наблюдений могут быть ошибки технического порядка, или ошибки первого рода: ошибки при агрегировании и дезагрегировании показателей, при передаче информации и другие технические причины. Ошибки первого рода подлежат выявлению и устранению. Кроме того, аномальные уровни во временных рядах могут возникать из-за воздействия факторов, имеющих объектив­ный характер, но проявляющихся эпизодически, очень ред­ко – ошибки второго рода; они устранению не подлежат.

Для выявления аномальных уровней временных рядов используются специальные методы для статистических со­вокупностей.


§3. Расчет показателей динамики развития экономических процессов

Расчет проводится на основе статистического анали­за одномерных временных рядов экономической динамики. Для статистического анализа одномерных временных рядов экономических показателей вида

у1, у2,…, yn

абсолютные уровни моментных и интервальных рядов, а также уровни из средних величин должны быть преобразованы в отно­сительные величины. Их можно получить соотнесением уровней ряда с одним и тем же уровнем, взятым за базу (за базу сравнения чаще всего принимают начальный уро­вень временного ряда ), либо последовательными сопостав­лениями с предыдущим уровнем. В первом случае получают базисные показатели, во втором – цепные.

Временной ряд тогда правильно отражает объективный процесс развития экономического явления, когда уровни этого ряда состоят из однородных, сопоставимых величин. Для несопоставимых величин вести расчет рассматриваемых ниже статистических показателей динамики неправомерно. Причины несопоставимости уровней временного ряда могут быть различными. В экономике чаще всего такими причи­нами является несопоставимость:

• по территории ввиду изменения границ региона, по кото­рому собираются статистические данные;

• по кругу охватываемых объектов по подчинению или форме собственности ввиду перехода, например, части предприятий данного объединения в другое объединение;

• по временным периодам, когда, например, данные за раз­личные годы приведены по состоянию на разные даты;

• уровней, вычисленных в различном масштабе измерения;

• уровней ряда из-за различий в структуре совокупности, для которой они вычислены.

Возможны и другие причины несопоставимости.

При анализе временных рядов для определения измене­ний, происходящих в данном явлении, прежде всего, вычис­ляют скорость развития этого явления во времени. Показа­телем скорости служит абсолютный прирост, вычисляемый по формуле

(1)

где yi — i-й уровень временного ряда (i = 2,3, ..., n); индекс k = 1,2, ..., n-1 определяет начальный уровень и может быть выбран любым в зависимости от целей исследования: при k = 1 получаются цепные показатели, при h = i-1 получаются базисные показатели с начальным уровнем ряда в качестве базисного и т. д.

Абсолютный прирост выражает величину изменения по­казателя за интервал времени между сравниваемыми перио­дами. Если подходить более строго, то скоростью называют прирост в единицу времени; эта величина носит название среднего абсолютного прироста:

(2)

В частности, средний абсолютный прирост за весь период наблюдения для данного временного ряда равен

(3)

и характеризует среднюю скорость изменения временного ряда.

Для определения относительной скорости изменения изу­чаемого явления в единицу времени используют относительные показатели: коэффициенты роста и прироста (если эти по­казатели выражены в процентах, то их называют соответ­ственно темпами роста и прироста). Заметим, что во всех последующих формулах индекс начального уровня, по от­ношению к которому осуществляется сопоставление, опреде­ляется точно так же с помощью индекса k, как и ранее для показателя абсолютного прироста.

Коэффициент роста для i-го периода вычисляется по формуле

(4)

Коэффициент прироста равен

(5)

На практике чаще применяют показатели темпа роста и темпа прироста:

(6)

(7)

Темп прироста показывает, на сколько процентов уро­вень одного периода увеличился (уменьшился) по сравнению с уровнем другого периода, т.е. этот показатель выражает относительную величину прироста в процентах.

Абсолютное значение одного процента прироста опреде­ляется как отношение абсолютного прироста yi к темпу прироста в процентах .

Среднюю скорость изменения изучаемого явления за рас­сматриваемый период характеризует также средний темп роста. Обычно он рассчитывается по формуле средней гео­метрической:

(8)

Соответственно средний темп прироста определяется как

(9)

Показатель среднего темпа роста, рассчитываемый по приведенной выше формуле средней геометрической, имеет существенные недостатки, так как основан на сопоставлении конечного и начального уровней временного ряда, промежу­точные уровни во внимание не принимаются. В случае силь­ной колеблемости уровней использование для статистиче­ского анализа среднего геометрического темпа роста может привести к серьезным просчетам в результате искажения реальной тенденции временного ряда.

Важной характеристикой временного ряда является также средний уровень ряда. В интервальном ряду динами­ки с равноотстоящими во времени уровнями расчет среднего уровня ряда производится по формуле простой средней арифметической (здесь и далее суммирование ведется по всем периодам наблюдения):

(10)

Если интервальный ряд имеет неравноотстоящие во вре­мени уровни, то средний уровень ряда (так называемая средняя хронологическая) вычисляется по формуле взве­шенной арифметической средней, где роль весов играет продолжительность времени (например, количество лет), в течение которого уровень постоянен:

(11)

Для моментного ряда с равноотстоящими уровнями сред­няя хронологическая рассчитывается по формуле:

(12)

где п — число уровней ряда.

Средняя хронологическая для моментного временного ряда с разноотстоящими во времени уровнями вычисляется по формуле:

(13)

Здесь п – число уровней ряда, a ti — период времени, отде­ляющий i-й уровень ряда от (i+1)-го уровня.


§4. Тренд-сезонные экономические процессы и их анализ

Влияние сезонности на экономику вполне очевидно и проявляется в аритмии производственных и других процессов: недогрузка производственных мощностей в одни периоды года и более интенсивное их использование в другие; нерав­номерное распределение внутри рамок года объемов грузооборота и товарооборота и т.д. Не во всех случаях сезон­ность является следствием действия неуправляемых или почти неуправляемых факторов. Чаще всего они поддаются регулированию. Но даже и в тех случаях, когда прямое воз­действие на процессы, вызывающие сезонные колебания, не­возможно, необходимо учитывать их действие при совершен­ствовании технологических, организационно-экономических процессов и процессов управления.

Под сезонными колебаниями понимают регулярные, пе­риодические наступления внутригодовых подъемов и спадов производства, грузооборота и товарооборота и т. д., связан­ных со сменой времени года, а под сезонностью – ограни­ченность годового периода работ под влиянием того же при­родного фактора.

Если процесс подвержен периоди­ческим колебаниям, имеющим определенный и постоян­ный период, равный годовому промежутку, то мы имеем дело с так называемым тренд-сезонным временным рядом.

Будем рас­сматривать тренд-сезонный временной ряд у1,…, уТ по­рождаемый аддитивным случайным процессом:

уt=Ut+Vt+t, (14)

где Ut — тренд;

Vt — сезонная компонента;

t — случайная компонента;

Т — число уровней наблюдения.

Относительно Ut предполагается, что это некоторая гладкая функция. Сезон­ная компонента Vt имеет период То: (То = 12 для ря­да месячных данных; То = 4 — для ряда квартальных данных).

Кроме того, известно, что То нацело делит Т, т.е. Т = m·То, m — целое число. Очевидно, если То — число месяцев или кварталов в году, то m — число лет, представленных во вре­менном ряду.

Кратко охарактеризуем зада­чи, возникающие при исследовании сезонности вообще и се­зонных временных рядов в частности. Проблема анализа се­зонности заключается в исследовании собственно сезонных колебаний и в изучении того внешнего циклического меха­низма, который их вызывает. Для исследования сезонных колебаний вне связи с причинами, их порождающими, оче­видно, необходимо отфильтровать из временного ряда сезонную компоненту Vt и затем уже анализировать ее ди­намику. Большинство методов фильтрации построено таким образом, что предварительно выделяется тренд, а затем уже сезонная компонента. Тренд в чистом виде необходим и для анализа динамики сезонной волны.

Задачи, возникающие при исследовании сезонных временных рядов:

1) определение наличия во временном ряду тренда;

2) выявление наличия во временном ряду сезонных колебаний;

3) фильтрация компонент ряда;

4) анализ динамики сезонной волны;

5) исследование факторов, определяющих сезонные коле­бания;

6) прогнозирование тренд-сезонных процессов.